こんにちは、おじさんです。
今日は、なんか問題を解いていこうと思います。
問題
あなたは、テレビのクイズ大会で優勝しました。
目の前には商品が入った三つの箱があります。
また、二つの箱ははずれで、残りの一つがあたりで商品が入っています。
あなたは、その三つの箱のうちの一つを選びました。
そしたら、司会者が残りの二つの箱のうち，一つを開けて見せました．
その箱の中は「はずれ」でした．
因みに，司会者はどの箱に世界一周旅行の目録が入っているかを知っていますし，
番組を盛り上げるため賞品の入っている箱を開けることはしません．
そこで司会者はあなたにこう言いました．
「今なら，箱を選び直してもいいですよ！」
確率を考えたとき，あなたはもう一方の箱を選ぶべきでしょうか？
それとも，最初に選んだ箱のままにすべきでしょうか？
こちらの問題はモンティホール問題といい、
アメリカのショー番組「Let's make a deal」で実際に出た問題です。
とても難しそうですね。（小並）
私の頭で考えてもオーバーヒートしそうなので
今回は、みんなで考えていきましょう。（？）
考え方
とりあえず説明のために三つの箱にはA、B、Cと名前を付けておきます。
その三つの箱から商品が出てくる確率はそれぞれ1/3になります。
箱に賞品の入っている確率
箱 確率
A 1/3
B 1/3
C 1/3
そしてあなたはAを選んだとします。
もし、Aに商品が入っているとすれば
司会者が開ける箱はＢでもＣでもよいので，それぞれを開ける確率は1/2となります． ですから，箱Ａに商品が入っていて，箱Ｂを開ける確率は1/3×1/2=1/6となります．同様に，箱Ｃを開ける確率も1/6です．
もし、Bに商品が入っているとすれば、
箱Ａはあなたが選んだ箱ですし，箱Ｂには賞品が入っているので，司会者が開けられる箱は箱Ｃに限られます．なので，箱Ｂを開ける確率は1/3×0 = 0となり，箱Ｃを開ける確率は1/3×1 = 1/3です．
もし、Cに商品が入っているとすれば、
箱Ａはあなたが選んだ箱ですし，箱Ｃには賞品が入っているので，司会者が開けられる箱は箱Ｂに限られます．なので，箱Ｂを開ける確率は1/3×1 = 1/3となり，箱Ｃを開ける確率は1/3×0 = 0です．
これらをまとめたものが下の表になります．
司会者が箱を開ける確率
賞品の入っている箱 箱Aを開ける確率 箱Bを開ける確率 箱Cを開ける確率
A 0 1/6 1/6
B 0 0 1/3
C 0 1/3 0
箱Ａに商品が入っていて，あなたが箱Ａを選び，司会者が箱Ｂを開ける確率は1/6です．
一方，箱Ｃに商品が入っていて，あなたが箱Ａを選び，司会者が箱Ｂを開ける確率は1/3です．
箱Ｃに商品が入っている確率は箱Ａに商品が入っている確率の２倍になりますから，
「あなたはもう一方の箱を選ぶ」
というのが確率的に考えたときのよい戦略となります．
